Ta có:
$\angle BFC = 90^\circ$ (do BF là đường cao của tam giác ABC)
$\angle BEC = 90^\circ$ (do CE là đường cao của tam giác ABC)
$\angle BAC = \angle BEC$ (cùng chắn cung BC)
$\angle CBA = \angle CFB$ (cùng chắn cung BC)
$\angle BAC = \angle CFB$ (do $\angle CBA = \angle BAC$)
$\angle BFC = \angle BEC$ (do BF và CE là đường cao của tam giác ABC)
$\Rightarrow \angle BFC = \angle BEC$
$\Rightarrow BFEC$ là tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác $ABC$ ta có:
$\frac{CH}{CE} = \frac{CF}{CA}$
$\Rightarrow CH.CA = CE.CF$ (1)

Xét tam giác $ABC$ ta có:
$\frac{CH}{CF} = \frac{CE}{CA}$
$\Rightarrow CH.CA = CE.CF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CH.CA = CE.CF$ và điều phải chứng minh.