AFED cân tại D song với DE cắt DF tại N

Để chứng minh các điều cần CMR, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Trong tam giác, đường trung tuyến chia đôi đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm.

2. Trong tam giác, đường phân giác trong chia cạnh đối với nó thành các đoạn có tỉ lệ bằng tỉ lệ của các cạnh kề với cạnh đó.

3. Hai đường phân giác trong của một tam giác cắt nhau tại trọng tâm của tam giác đó.

4. Trong tam giác vuông, trọng tâm trùng với trung điểm của đoạn nối đỉnh vuông góc với đỉnh trái.

a) Ta có DM là đường trung tuyến của tam giác ADEF, nên theo định lí 1, ta có ND = NM. Khi kẻ đường thẳng song song với DE qua M cắt DF tại N, ta có NM = ND, suy ra tam giác ADF cân tại D. Do đó, ta chứng minh được điều cần CMR.

b) Ta có EN là đường phân giác trong của tam giác AED, suy ra theo định lí 2, ta có AP/PE = AD/DE. Nhưng ta cũng có ND = NM, từ đó suy ra P là trọng tâm của tam giác AED. Do đó, ta chứng minh được điều cần CMR.

c) Ta có NQ // FE (do N là trọng tâm của tam giác ADF và P là trọng tâm của tam giác AED). Từ đó, ta có F, P, Q thẳng hàng. Do đó, ta chứng minh được điều cần CMR.