Để chứng minh các phần của bài toán, ta vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (-2,-2);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (2,-2);
\coordinate[label=above:$H$] (H) at (0,-2);
\coordinate[label=above:$K$] (K) at (0,2);
\coordinate[label=above right:$M$] (M) at (1,-1);
\coordinate[label=above right:$I$] (I) at (-1,-1);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (K);
\draw (B) -- (H);
\draw (C) -- (K);
\draw (B) -- (I) -- (C);
\draw (A) -- (I);
\draw (A) -- (M);
\draw (I) -- (M);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a/ Ta có tam giác ABC cân tại A nên \( \angle BAC = \angle BCA \).\\
Vì BH vuông góc với AC nên \( \angle HAB = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - \angle BCA = \angle ACH \).\\
Do đó, ta có \( \angle HAK = \angle HAB + \angle BAC = \angle ACH + \angle BCA = \angle KAC \).\\
Vậy tam giác AKH cân tại K.

b/ Ta có \( \angle BIM = 180^\circ - \angle ABI - \angle IBC = 180^\circ - \angle ACH - \angle BCA = 180^\circ - \angle KAC - \angle BCA = \angle KAI \).\\
Vậy ta có \( \angle BIM = \angle KAI \).\\
Tương tự, ta cũng có \( \angle CIM = \angle IAK \).\\
Do đó, ta có \( \angle BIM = \angle CIM \), tức IM là phân giác của góc BIC.

c/ Ta có \( \angle BHC = 90^\circ = \angle BAC \) nên BH và CK đối góc.\\
Vậy ta có \( HK \parallel BC \).