Cho tam giác ABC vuông tại A, có Bx là đường phân giác trong của ABC. Từ C hạ đường thẳng vuông góc với Bx tại D. Gọi M là trung điểm của AC, DM cắt BC tại N..

a. Chứng minh tam giác DAC cân:

Ta có Bx là đường phân giác trong của tam giác ABC, nên theo tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông, ta có BD vuông góc với AC tại D.

Ta có DM là đường cao của tam giác ADC (do AD vuông góc với BC), nên ta có AM = MC.

Do đó, ta có tam giác ADC cân tại D.

b. Chứng minh N là trung điểm BC:

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BDC ta có:

\[\frac{BN}{NC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{DM}{MC} = 1\]

Vì tam giác ADC cân tại D nên CD = DA, ta có:

\[\frac{BN}{NC} \cdot \frac{DA}{DB} \cdot \frac{DM}{MC} = 1\]

Vì AM = MC nên ta có:

\[\frac{BN}{NC} \cdot \frac{DA}{DB} \cdot 2 = 1\]

\[\frac{BN}{NC} = \frac{1}{2}\]

Vậy N là trung điểm của BC.

c. Cho BD = AC. Tính góc ∠ABC:

Do BD = AC và tam giác ADC cân tại D nên ta có góc ∠ADC = ∠ACD.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có góc ∠ACD = 90° - ∠ABC.

Do đó, ta có góc ∠ADC = 90° - ∠ABC.

Vì tam giác ADC cân nên ta có góc ∠DAC = ∠ADC = 90° - ∠ABC.

Vậy ta có: 90° - ∠ABC = 90° - ∠ABC

\[\Rightarrow \angle ABC = 45^\circ\]