Chứng minh tứ giác AKOB nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó?

Giải:

a. Ta có: $\angle AOB = 90^\circ$ (do $OK \perp MN$) và $\angle AKB = 90^\circ$ (do $AB$ tiếp tuyến của đường tròn). Do đó, tứ giác $AKOB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Gọi $I$ là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác $AKOB$. Khi đó, $OI$ là đường phân giác của góc $\angle AOB$, suy ra $OI$ là đường thẳng đi qua tâm $O$ và vuông góc với $AB$ tại $B$. Do đó, $I$ chính là giao điểm của $AB$ và $OK$.

b. Ta có $\angle AOC = 90^\circ$ (do $AC$ tiếp tuyến của đường tròn) và $\angle AOK = 90^\circ$ (do $OK \perp MN$). Do đó, $A, C, K, O$ cùng thuộc một đường tròn.

c. Ta có $\angle AQC = \angle ABC$ (cùng chắn cung $AC$) và $\angle ABC = \angle ANM$ (do $AB$ và $AM$ cắt nhau tại $B$ và $N$). Suy ra, $\angle AQC = \angle ANM$, từ đó suy ra $BQ \parallel AN$.