Để giải bài toán này, ta cần vẽ đồ thị như sau:

- Vẽ đường tròn (O) bán kính R với tâm O.
- Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB từ điểm M đến đường tròn (A, B là hai tiếp điểm).
- Kẻ tuyến MCD không đi qua tâm O cắt đường thẳng AB tại E.
- Kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt MA và MB lần lượt tại P và Q.

1. Ta có:
- Vì M nằm ngoài đường tròn (O) nên MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Do đó, theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: ∠MOA = ∠MBA = 90°.
- Vậy 4 điểm M, A, I, O cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi x = IE, y = OE.
- Ta có: OI = R/3.
- Theo định lý đường tròn nội tiếp, ta có: IE * EO = AE * EB.
- Khi đó, ta có: x * y = (R + x) * (R + y).
- Từ đó, ta giải hệ phương trình và tính được tỉ lệ IE/OE.

3. Gọi S là diện tích tam giác MPO.
- Ta có: S = 0.5 * MP * OP * sin∠MPO.
- Vì ∠MPO = 90°, nên S = 0.5 * MP * OP.
- Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông MOP, ta có: MP = √(MO^2 - OP^2).
- Từ đó, ta có: S = 0.5 * √(MO^2 - OP^2) * OP.
- Để S đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của √(MO^2 - OP^2) * OP.
- Tìm điểm M sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất.