a) Ta có góc ABE = góc EBC (vì BE là đường phân giác của góc B) và góc AEB = góc ECB (vì tam giác AEB và tam giác ECB cùng có góc vuông). Do đó, tam giác ABE và tam giác CBE đồng dạng. Từ đó, ta có AE/EC = AB/BC. Nhưng tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = BC, suy ra AE = EC.

Vậy ta có AB = AD và góc ABE = góc ADB, từ đó tam giác ABAD cân và BE là trung trực của đoạn thẳng AD.

b) Vì tam giác ABE và tam giác CBE đồng dạng nên AE/EC = AB/BC = 1. Do đó, AE = EC.

c) Ta có BH = AK (theo điều kiện đề bài). Vì tam giác ABE và tam giác CBE đồng dạng nên góc ABE = góc CBE, từ đó góc ABAH = góc AACK. Tương tự, ta có góc ABH = góc ACK. Vậy tam giác ABAH = AACK.

Do AE = EC và góc ABE = góc CBE nên tam giác ABE và tam giác CBE đồng dạng, từ đó AH = CK.

d) Ta có M là trung điểm của BC nên AM song song với HD. Từ đó, ta có góc AHD = góc DAM.

Vì tam giác ABE và tam giác CBE đồng dạng nên góc ABE = góc CBE, từ đó góc ABD = góc CBD. Nhưng tam giác ABC vuông cân tại A nên góc ABD = góc ABC/2 = góc CBD. Vậy tam giác ABD và tam giác CBD cũng đồng dạng.

Do đó, ta có góc AHD = góc DAM = góc DAI. Từ đó, tam giác AHD và tam giác ADI đồng dạng.

Vậy dạng của tam giác AFDI là tam giác cân.