Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Kẻ BE cắt CD tại H

1. Ta có:
\(\angle ADE = \angle AOE\) (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O))
\(\angle AHE = \angle AOE\) (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
Do đó, ta có \(\angle ADE = \angle AHE\), suy ra tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn.

2. Ta có:
\(\angle ADE = \angle AOE\) (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O))
\(\angle AOE = \angle AEC\) (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
Do đó, ta có \(\angle ADE = \angle AEC\), suy ra tứ giác ADEC là tứ giác tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác ADEC ta được:
\(AE . DC = AC . DE + AD . EC\)
\(AE . DC = AC . DE + AB . EC\) (vì AD = AB)
\(AE . 8 = AC . 3 + AB . 3\)
\(AE . AC = AB . AD\)

3. Ta có:
\(BH = 4cm\), \(HE = 3cm\), \(DC = 8cm\)
\(HC = DC - DH = 8 - 4 = 4cm\)

Vậy độ dài HC là 4cm.