Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √a(b+1) + √b(a+1)

Ta có a + b = 1, suy ra b = 1 - a.

Thay b = 1 - a vào biểu thức P, ta được:
P = √a((1 - a) + 1) + √(1 - a)(a + 1)
= √a(2 - a) + √(1 - a)(a + 1)
= √(2a - a^2) + √(a - a^2)

Đặt f(a) = √(2a - a^2) + √(a - a^2)

Ta có f'(a) = (1 - a)/√(2a - a^2) - (1 - 2a)/√(a - a^2)
= (1 - a)/√a(2 - a) - (1 - 2a)/√a(1 - a)
= (1 - a)√(1 - a) - (1 - 2a)√(2 - a)/(√a(2 - a)√(1 - a))

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P, ta cần tìm các điểm cực trị của hàm f(a) trên đoạn [0, 1].

Đạo hàm của f(a) sẽ bằng 0 khi và chỉ khi f'(a) = 0, suy ra ta cần giải phương trình:
(1 - a)√(1 - a) - (1 - 2a)√(2 - a) = 0
⇔ (1 - a)√(1 - a) = (1 - 2a)√(2 - a)
⇔ (1 - a)^2(1 - a) = (1 - 2a)^2(2 - a)
⇔ (1 - a)^3 = (1 - 2a)^2(2 - a)
⇔ 1 - 3a + 3a^2 - a^3 = 4 - 6a + 4a^2 - 2a + 4a^2 - 8a^3
⇔ 9a^3 - 11a^2 + 5a - 3 = 0

Phương trình này có nghiệm duy nhất trong đoạn [0, 1] là a = 1/3.

Ta thấy rằng f''(a) = 18a - 22, với a = 1/3, ta có f''(1/3) = 18/3 - 22 = -16 < 0.

Vậy a = 1/3 là điểm cực đại của hàm f(a) trên đoạn [0, 1].

Khi a = 1/3, ta tính được b = 2/3.

Thay a = 1/3 và b = 2/3 vào biểu thức P, ta được:
P = √(1/3)(2/3 + 1) + √(2/3)(1/3 + 1)
= √(1/3)(5/3) + √(2/3)(4/3)
= √5/9 + 2√2/9
= (√5 + 2√2)/9

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là (√5 + 2√2)/9 và giá trị nhỏ nhất là 0 khi a = 0 và b = 1 hoặc ngược lại.