Để tìm độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông mà Lan có thể cắt từ tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 75 cm và 105 cm, ta cần tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số 75 và 105.

Đầu tiên, ta phân tích các số này thành thừa số nguyên tố:
- \(75 = 3 \times 5^2\)
- \(105 = 3 \times 5 \times 7\)

Sau đó, ta tìm các thừa số chung và chọn thừa số có mũ nhỏ nhất:
- Các thừa số chung của 75 và 105 là 3 và 5.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 75 và 105 là:
\[ \text{ƯCLN}(75, 105) = 3 \times 5 = 15 \]

Vậy độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông mà Lan có thể cắt từ tấm bìa là 15 cm.

Để kiểm tra lại, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid:
- Chia 105 cho 75, ta được số dư: \(105 \div 75 = 1\) dư 30.
- Chia 75 cho 30, ta được số dư: \(75 \div 30 = 2\) dư 15.
- Chia 30 cho 15, ta được số dư: \(30 \div 15 = 2\) dư 0.

Khi số dư là 0, số chia cuối cùng là ƯCLN. Do đó, ƯCLN của 75 và 105 là 15.

Vậy độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là 15 cm.