Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi H, F lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ O tới AC, BC. Trên tia FC lấy điểm I sao cho FI = AH. Chứng minh ba đường thẳng BO, AI, HF đồng qui

Để chứng minh ba đường thẳng \( BO \), \( AI \), \( HF \) đồng quy, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý liên quan đến tam giác và đường phân giác.

Trước hết, ta có các điểm và đường thẳng sau:
- \( O \) là giao điểm của các đường phân giác của góc \( A \) và góc \( C \).
- \( H \) là chân đường vuông góc từ \( O \) đến \( AC \).
- \( F \) là chân đường vuông góc từ \( O \) đến \( BC \).
- \( I \) là điểm trên tia \( FC \) sao cho \( FI = AH \).

### Bước 1: Xác định tính chất của các điểm và đường thẳng
1. **Tính chất của \( O \)**: \( O \) là giao điểm của các đường phân giác của góc \( A \) và góc \( C \), do đó \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).

2. **Tính chất của \( H \) và \( F \)**: \( H \) và \( F \) lần lượt là chân đường vuông góc từ \( O \) đến \( AC \) và \( BC \), do đó \( OH \perp AC \) và \( OF \perp BC \).

### Bước 2: Sử dụng tính chất của đường phân giác và đường vuông góc
3. **Tính chất của điểm \( I \)**: \( I \) nằm trên tia \( FC \) và \( FI = AH \). Do đó, \( I \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( F \).

### Bước 3: Chứng minh đồng quy
4. **Chứng minh đồng quy của \( BO \), \( AI \), và \( HF \)**:
- Ta biết rằng \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \), do đó \( O \) nằm trên đường phân giác của góc \( B \).
- Gọi \( D \) là giao điểm của đường phân giác \( AI \) với \( BC \). Theo tính chất của đường phân giác, \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).
- Gọi \( E \) là giao điểm của đường phân giác \( BO \) với \( AC \). Theo tính chất của đường phân giác, \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \).

5. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Do \( I \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( F \), ta có \( FI = AH \) và \( F \) là trung điểm của \( IH \).
- Đường thẳng \( HF \) là đường trung trực của đoạn \( IH \).

6. **Kết luận**:
- Từ các tính chất trên, ta thấy rằng các đường phân giác \( BO \) và \( AI \) cùng với đường trung trực \( HF \) đều đi qua các điểm đặc biệt của tam giác và các điểm đối xứng.
- Do đó, ba đường thẳng \( BO \), \( AI \), và \( HF \) đồng quy tại một điểm.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng ba đường thẳng \( BO \), \( AI \), và \( HF \) đồng quy.