Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tứ giác ABIM là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau. Ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường trung tuyến, trung điểm trong tam giác.

**Bước 1: Xác định các điểm và tính chất liên quan**

- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), do đó \( \angle BAC = 90^\circ \).
- \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), do đó \(AH \perp BC\).
- \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(AM\) là đường trung tuyến.
- \(I\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(I\) trùng với \(M\).

Vì \(I\) trùng với \(M\), ta có \(I = M\).

**Bước 2: Chứng minh các cặp cạnh đối song song và bằng nhau**

- Xét tứ giác \(ABIM\):
- \(I\) trùng với \(M\), do đó \(IM = 0\).
- \(AB\) là cạnh của tam giác vuông \(ABC\), và \(AM\) là đường trung tuyến từ \(A\) đến \(BC\).

**Bước 3: Sử dụng tính chất của trung điểm và đường trung tuyến**

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BM = MC\).
- Trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) vuông, đường trung tuyến \(AM\) từ đỉnh góc vuông \(A\) đến trung điểm \(M\) của cạnh huyền \(BC\) có độ dài bằng nửa cạnh huyền \(BC\):
\[
AM = \frac{1}{2}BC
\]

**Bước 4: Chứng minh các cạnh đối bằng nhau**

- Trong tứ giác \(ABIM\):
- \(AB\) là cạnh của tam giác vuông \(ABC\).
- \(IM = 0\) (do \(I\) trùng với \(M\)).
- \(AM\) là đường trung tuyến từ \(A\) đến \(M\).

**Bước 5: Chứng minh các cạnh đối song song**

- Trong tứ giác \(ABIM\):
- \(AB\) và \(IM\) (với \(IM = 0\)) là các cạnh đối diện.
- \(AI\) và \(BM\) (với \(I\) trùng với \(M\)) là các cạnh đối diện.

**Kết luận:**

Vì \(I\) trùng với \(M\), tứ giác \(ABIM\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau (với \(IM = 0\)). Do đó, tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành.