Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( 3x - 8 \) chia hết cho \( x - 4 \), ta cần giải phương trình \( \frac{3x - 8}{x - 4} \) là một số nguyên.

Đặt \( k \) là một số nguyên sao cho:
\[ \frac{3x - 8}{x - 4} = k \]

Khi đó, ta có:
\[ 3x - 8 = k(x - 4) \]

Giải phương trình này:
\[ 3x - 8 = kx - 4k \]
\[ 3x - kx = 8 - 4k \]
\[ x(3 - k) = 8 - 4k \]
\[ x = \frac{8 - 4k}{3 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, thì \( \frac{8 - 4k}{3 - k} \) phải là một số nguyên. Ta sẽ thử các giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \).

1. **Thử \( k = 0 \):**
\[ x = \frac{8 - 4 \cdot 0}{3 - 0} = \frac{8}{3} \]
Không phải số nguyên.

2. **Thử \( k = 1 \):**
\[ x = \frac{8 - 4 \cdot 1}{3 - 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
Là số nguyên.

3. **Thử \( k = 2 \):**
\[ x = \frac{8 - 4 \cdot 2}{3 - 2} = \frac{8 - 8}{1} = 0 \]
Là số nguyên.

4. **Thử \( k = 3 \):**
\[ x = \frac{8 - 4 \cdot 3}{3 - 3} \]
Không xác định vì mẫu số bằng 0.

5. **Thử \( k = 4 \):**
\[ x = \frac{8 - 4 \cdot 4}{3 - 4} = \frac{8 - 16}{-1} = \frac{-8}{-1} = 8 \]
Là số nguyên.

6. **Thử \( k = 5 \):**
\[ x = \frac{8 - 4 \cdot 5}{3 - 5} = \frac{8 - 20}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6 \]
Là số nguyên.

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( 3x - 8 \) chia hết cho \( x - 4 \) là \( x = 2, 0, 8, 6 \).