Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định lượng kết tủa lớn nhất và nhỏ nhất khi dung dịch hỗn hợp MgCl₂, AlCl₃ và HCl tác dụng với dung dịch hỗn hợp NaOH và Ba(OH)₂.

**Bước 1: Tính số mol của các chất trong dung dịch ban đầu**

- MgCl₂: \( C = 0.3M \), \( V = 200ml = 0.2l \)
\[
n_{MgCl_2} = 0.3 \times 0.2 = 0.06 \text{ mol}
\]

- AlCl₃: \( C = 0.45M \), \( V = 200ml = 0.2l \)
\[
n_{AlCl_3} = 0.45 \times 0.2 = 0.09 \text{ mol}
\]

- HCl: \( C = 0.55M \), \( V = 200ml = 0.2l \)
\[
n_{HCl} = 0.55 \times 0.2 = 0.11 \text{ mol}
\]

**Bước 2: Tính số mol của các chất trong dung dịch NaOH và Ba(OH)₂**

- NaOH: \( C = 0.02M \), \( V = V \text{ lít} \)
\[
n_{NaOH} = 0.02 \times V
\]

- Ba(OH)₂: \( C = 0.01M \), \( V = V \text{ lít} \)
\[
n_{Ba(OH)_2} = 0.01 \times V
\]
\[
n_{OH^-} = 2 \times 0.01 \times V = 0.02V \text{ mol}
\]

Tổng số mol OH⁻ từ NaOH và Ba(OH)₂:
\[
n_{OH^-} = 0.02V + 0.02V = 0.04V \text{ mol}
\]

**Bước 3: Phản ứng của các chất**

- HCl phản ứng với OH⁻:
\[
HCl + OH^- \rightarrow H_2O
\]
\[
n_{OH^-} \text{ dư} = 0.04V - 0.11
\]

- Mg²⁺ phản ứng với OH⁻:
\[
Mg^{2+} + 2OH^- \rightarrow Mg(OH)_2 \downarrow
\]
\[
n_{OH^-} \text{ dư} = 0.04V - 0.11 - 2 \times 0.06 = 0.04V - 0.23
\]

- Al³⁺ phản ứng với OH⁻:
\[
Al^{3+} + 3OH^- \rightarrow Al(OH)_3 \downarrow
\]
\[
n_{OH^-} \text{ dư} = 0.04V - 0.11 - 2 \times 0.06 - 3 \times 0.09 = 0.04V - 0.5
\]

**Bước 4: Xác định giá trị của V để lượng kết tủa lớn nhất và nhỏ nhất**

- Để lượng kết tủa lớn nhất, tất cả các ion Mg²⁺ và Al³⁺ đều kết tủa:
\[
0.04V - 0.5 \geq 0 \Rightarrow V \geq 12.5 \text{ lít}
\]

- Để lượng kết tủa nhỏ nhất, chỉ có Mg²⁺ kết tủa:
\[
0.04V - 0.23 \geq 0 \Rightarrow V \geq 5.75 \text{ lít}
\]

**Kết luận:**

- Giá trị của V để lượng kết tủa lớn nhất là \( V \geq 12.5 \text{ lít} \).
- Giá trị của V để lượng kết tủa nhỏ nhất là \( V = 5.75 \text{ lít} \).