Để tính số lần Khánh được ăn kem miễn phí, chúng ta cần xem xét quá trình đổi que kem thành kem và sau đó tiếp tục đổi que kem mới từ những chiếc kem đã ăn.

1. Ban đầu, Khánh có 20 que kem.
2. Với mỗi 2 que kem, Khánh có thể đổi lấy 1 chiếc kem. Vậy từ 20 que kem, Khánh sẽ đổi được:
\[
\frac{20}{2} = 10 \text{ chiếc kem}
\]
3. Sau khi ăn 10 chiếc kem, Khánh sẽ có thêm 10 que kem mới.
4. Khánh lại tiếp tục đổi que kem mới này. Với 10 que kem, Khánh sẽ đổi được:
\[
\frac{10}{2} = 5 \text{ chiếc kem}
\]
5. Sau khi ăn 5 chiếc kem, Khánh sẽ có thêm 5 que kem mới.
6. Khánh tiếp tục đổi 5 que kem này. Với 5 que kem, Khánh sẽ đổi được:
\[
\frac{5}{2} = 2 \text{ chiếc kem} \text{ (và còn dư 1 que kem)}
\]
7. Sau khi ăn 2 chiếc kem, Khánh sẽ có thêm 2 que kem mới, cộng với 1 que kem dư từ trước, tổng cộng là 3 que kem.
8. Khánh tiếp tục đổi 3 que kem này. Với 3 que kem, Khánh sẽ đổi được:
\[
\frac{3}{2} = 1 \text{ chiếc kem} \text{ (và còn dư 1 que kem)}
\]
9. Sau khi ăn 1 chiếc kem, Khánh sẽ có thêm 1 que kem mới, cộng với 1 que kem dư từ trước, tổng cộng là 2 que kem.
10. Khánh tiếp tục đổi 2 que kem này. Với 2 que kem, Khánh sẽ đổi được:
\[
\frac{2}{2} = 1 \text{ chiếc kem}
\]
11. Sau khi ăn 1 chiếc kem, Khánh sẽ có thêm 1 que kem mới, nhưng không đủ để đổi thêm kem nữa.

Tổng cộng số lần Khánh được ăn kem miễn phí là:
\[
10 + 5 + 2 + 1 + 1 = 19 \text{ lần}
\]

Vậy Khánh sẽ được ăn kem miễn phí 19 lần.