Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, ta sẽ phân tích phương trình đường thẳng \( d \) và tìm giá trị của \( m \) sao cho thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Phương trình đường thẳng \( d \) là:
\[ (m + 2)x + (m - 3)y - m + 8 = 0 \]

### a) Đường thẳng \( d \) song song với trục hoành

Đường thẳng song song với trục hoành có hệ số của \( y \) bằng 0. Do đó, ta cần:
\[ m - 3 = 0 \]
Giải phương trình này, ta được:
\[ m = 3 \]

### b) Đường thẳng \( d \) song song với trục tung

Đường thẳng song song với trục tung có hệ số của \( x \) bằng 0. Do đó, ta cần:
\[ m + 2 = 0 \]
Giải phương trình này, ta được:
\[ m = -2 \]

### c) Chứng minh đường thẳng \( d \) luôn đi qua điểm \( A(-1, 2) \)

Để chứng minh đường thẳng \( d \) luôn đi qua điểm \( A(-1, 2) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem phương trình có đúng với mọi giá trị của \( m \) hay không.

Thay \( x = -1 \) và \( y = 2 \) vào phương trình:
\[ (m + 2)(-1) + (m - 3)(2) - m + 8 = 0 \]

Ta tính toán:
\[ -m - 2 + 2m - 6 - m + 8 = 0 \]
\[ -m + 2m - m - 2 - 6 + 8 = 0 \]
\[ 0 = 0 \]

Phương trình này luôn đúng với mọi giá trị của \( m \). Do đó, đường thẳng \( d \) luôn đi qua điểm \( A(-1, 2) \).

Tóm lại:
a) \( m = 3 \) để đường thẳng \( d \) song song với trục hoành.
b) \( m = -2 \) để đường thẳng \( d \) song song với trục tung.
c) Đường thẳng \( d \) luôn đi qua điểm \( A(-1, 2) \) với mọi giá trị của \( m \).