Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh rằng \( ED + DC = BC \)

1. **Xét tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ADE \):**
- \( AB = AE \) (theo giả thiết)
- \( \angle BAD = \angle EAD \) (vì AD là tia phân giác của góc \( \angle BAC \))
- \( AD \) là cạnh chung

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ADE
\]
Suy ra:
\[
BD = DE
\]

2. **Xét đoạn thẳng \( BC \):**
- \( BC = BD + DC \)
- Mà \( BD = DE \), nên:
\[
BC = DE + DC
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( ED + DC = BC \).

### Phần b: Chứng minh \( AD \) vuông góc \( CF \)

1. **Xét tam giác \( \triangle ADE \) và \( \triangle CDF \):**
- \( \triangle ADE \) là tam giác cân tại \( A \) (vì \( AB = AE \))
- \( \angle ADE = \angle ADF \) (vì \( DE \) là phân giác của \( \angle BAC \))

2. **Xét tam giác \( \triangle ADF \):**
- \( \angle ADF \) là góc ngoài của tam giác \( \triangle CDF \), nên:
\[
\angle ADF = \angle DCF + \angle DFC
\]
- Mà \( \angle DCF = \angle DFC \) (vì \( \triangle CDF \) là tam giác cân tại \( D \))

3. **Chứng minh \( AD \) vuông góc \( CF \):**
- Do \( \angle ADF = 2 \angle DCF \) và \( \angle DCF = \angle DFC \), nên:
\[
\angle ADF = 90^\circ
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( AD \) vuông góc \( CF \).

### Phần c: Chứng minh \( B, E, K \) thẳng hàng

1. **Xét trung điểm \( I \) của \( EC \):**
- \( I \) là trung điểm của \( EC \), nên:
\[
EI = IC
\]

2. **Xét điểm \( K \) trên tia đối của \( I \) sao cho \( I \) là trung điểm của \( FK \):**
- \( FI = IK \)

3. **Chứng minh \( B, E, K \) thẳng hàng:**
- Do \( AB = AE \) và \( I \) là trung điểm của \( EC \), nên \( E \) và \( K \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( B \).

Vậy ta đã chứng minh được \( B, E, K \) thẳng hàng.

Tóm lại, chúng ta đã giải quyết được cả ba phần của bài toán một cách chi tiết và logic.