Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất về tỉ lệ diện tích của các tam giác có chung đỉnh và các đoạn thẳng song song.

1. **Xác định tỉ lệ đoạn thẳng:**
- Trên AC lấy điểm M sao cho \( MC = \frac{2}{3} AC \). Điều này có nghĩa là \( AM = \frac{1}{3} AC \).
- Trên BM lấy điểm N sao cho \( MN = \frac{1}{3} MB \). Điều này có nghĩa là \( BN = \frac{2}{3} MB \).

2. **Tính diện tích các tam giác:**
- Gọi diện tích tam giác \( ABC \) là \( S \).
- Diện tích tam giác \( AMN \) là 12 mét vuông.

3. **Sử dụng tỉ lệ diện tích:**
- Tam giác \( AMN \) và tam giác \( AMC \) có chung đỉnh A và đường cao từ A đến BC là như nhau. Do đó, tỉ lệ diện tích của chúng bằng tỉ lệ độ dài các đoạn thẳng tương ứng trên AC.
\[
\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}} = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{3}
\]
Vậy diện tích tam giác \( AMC \) là:
\[
S_{AMC} = 3 \times S_{AMN} = 3 \times 12 = 36 \text{ mét vuông}
\]

4. **Tính diện tích tam giác \( ABC \):**
- Tam giác \( AMC \) và tam giác \( ABC \) có chung đỉnh C và đường cao từ C đến AB là như nhau. Do đó, tỉ lệ diện tích của chúng bằng tỉ lệ độ dài các đoạn thẳng tương ứng trên AC.
\[
\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{MC}{AC} = \frac{2}{3}
\]
Vậy diện tích tam giác \( ABC \) là:
\[
S_{ABC} = \frac{S_{AMC}}{\frac{2}{3}} = \frac{36}{\frac{2}{3}} = 36 \times \frac{3}{2} = 54 \text{ mét vuông}
\]

Do đó, diện tích tam giác \( ABC \) là \( 54 \) mét vuông.