Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c >=1  CMR 1/1+a^2 +1/1+b^2 >= 2/1+ab

Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}\) với \(a, b \geq 1\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Trước tiên, ta xét hàm số \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\). Hàm số này là hàm lồi trên khoảng \([1, \infty)\) vì đạo hàm bậc hai của nó \(f''(x)\) là dương trên khoảng này.

Theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi \(f(x)\), với \(a, b \geq 1\), ta có:
\[ f(a) + f(b) \geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \]

Tuy nhiên, để áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta cần kiểm tra tính lồi của hàm \(f(x)\) trên khoảng \([1, \infty)\).

Xét đạo hàm bậc nhất của \(f(x)\):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x^2} \right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]

Xét đạo hàm bậc hai của \(f(x)\):
\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \right) = -\frac{2(1+x^2)^2 - 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = -\frac{2(1+x^2)^2 - 8x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4} \]
\[ f''(x) = -\frac{2(1 + x^2)^2 - 8x^2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^4} = -\frac{2(1 + x^2 - 4x^2)}{(1 + x^2)^3} = -\frac{2(1 - 3x^2)}{(1 + x^2)^3} \]

Với \(x \geq 1\), \(1 - 3x^2 \leq 0\), do đó \(f''(x) \geq 0\). Điều này chứng tỏ \(f(x)\) là hàm lồi trên khoảng \([1, \infty)\).

Do đó, theo bất đẳng thức Jensen, ta có:
\[ \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq 2 \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2} \]

Tuy nhiên, để chứng minh bất đẳng thức ban đầu, ta cần một cách tiếp cận khác.

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[ a^2 + 1 \geq 2a \]
\[ b^2 + 1 \geq 2b \]

Do đó:
\[ \frac{1}{1+a^2} \leq \frac{1}{2a} \]
\[ \frac{1}{1+b^2} \leq \frac{1}{2b} \]

Cộng hai bất đẳng thức này lại:
\[ \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \leq \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \]

Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu, ta cần chứng minh:
\[ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \geq \frac{2}{1+ab} \]

Điều này không dễ dàng chứng minh trực tiếp, do đó ta cần kiểm tra lại cách tiếp cận khác hoặc sử dụng bất đẳng thức khác.

Một cách tiếp cận khác là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[ \left( \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \right) \left( (1+a^2) + (1+b^2) \right) \geq (1+1)^2 = 4 \]

Do đó:
\[ \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{4}{2 + a^2 + b^2} \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{4}{2 + a^2 + b^2} \geq \frac{2}{1+ab} \]

Tương đương với:
\[ 2(1+ab) \geq 2 + a^2 + b^2 \]
\[ 2ab \geq a^2 + b^2 \]

Điều này không đúng với mọi \(a, b \geq 1\).

Do đó, ta cần kiểm tra lại cách tiếp cận khác hoặc sử dụng bất đẳng thức khác.