Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh: a^2 + b^2 + c^2 +3 ≥ (2 + a + b +c)

Để chứng minh bất đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2 + a + b + c\) với mọi số thực \(a, b, c\), ta sẽ bắt đầu bằng cách biến đổi và sắp xếp lại các hạng tử.

Trước hết, ta viết lại bất đẳng thức như sau:
\[a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2 + a + b + c.\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2 - a - b - c \geq 0.\]

Đơn giản hóa:
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 - a - b - c \geq 0.\]

Bây giờ, ta sẽ nhóm các hạng tử lại để dễ dàng chứng minh hơn:
\[(a^2 - a + \frac{1}{4}) + (b^2 - b + \frac{1}{4}) + (c^2 - c + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \geq 0.\]

Lưu ý rằng:
\[a^2 - a + \frac{1}{4} = \left(a - \frac{1}{2}\right)^2,\]
\[b^2 - b + \frac{1}{4} = \left(b - \frac{1}{2}\right)^2,\]
\[c^2 - c + \frac{1}{4} = \left(c - \frac{1}{2}\right)^2.\]

Do đó, ta có:
\[\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \geq 0.\]

Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên:
\[\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0,\]
\[\left(b - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0,\]
\[\left(c - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0.\]

Và \(\frac{1}{4} > 0\).

Do đó, tổng của các số không âm này luôn lớn hơn hoặc bằng 0:
\[\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \geq 0.\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2 + a + b + c.\]

Điều này hoàn tất chứng minh.