Để tính giá trị của biểu thức \( A = x^3 + y^3 + 3xy(x^2 + y^2) + 6x^2y^2(x + y) \) với điều kiện \( x + y = 1 \), ta sẽ thay \( x + y \) bằng 1 vào biểu thức và đơn giản hóa từng phần.

Trước hết, ta biết rằng:
\[ x + y = 1 \]

Ta có thể sử dụng một số đẳng thức đáng nhớ để đơn giản hóa biểu thức:

1. \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
2. \( x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \)

Bây giờ, ta tính từng phần của biểu thức \( A \):

### Tính \( x^3 + y^3 \):
\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]
\[ x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2) \]
\[ x^3 + y^3 = x^2 - xy + y^2 \]

### Tính \( x^2 + y^2 \):
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \]
\[ x^2 + y^2 = 1^2 - 2xy \]
\[ x^2 + y^2 = 1 - 2xy \]

### Tính \( 3xy(x^2 + y^2) \):
\[ 3xy(x^2 + y^2) = 3xy(1 - 2xy) \]
\[ 3xy(x^2 + y^2) = 3xy - 6x^2y^2 \]

### Tính \( 6x^2y^2(x + y) \):
\[ 6x^2y^2(x + y) = 6x^2y^2 \cdot 1 \]
\[ 6x^2y^2(x + y) = 6x^2y^2 \]

### Tổng hợp lại các phần:
\[ A = x^3 + y^3 + 3xy(x^2 + y^2) + 6x^2y^2(x + y) \]
\[ A = (x^2 - xy + y^2) + (3xy - 6x^2y^2) + 6x^2y^2 \]

Gộp các hạng tử lại:
\[ A = x^2 - xy + y^2 + 3xy - 6x^2y^2 + 6x^2y^2 \]
\[ A = x^2 - xy + y^2 + 3xy \]
\[ A = x^2 + y^2 + 2xy \]

Sử dụng lại đẳng thức \( x^2 + y^2 = 1 - 2xy \):
\[ A = (1 - 2xy) + 2xy \]
\[ A = 1 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là:
\[ A = 1 \]