Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình thang, ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối của nó song song với nhau. Cụ thể, ta sẽ chứng minh rằng \(AB \parallel CD\) hoặc \(AD \parallel BC\).

Cho tứ giác \(ABCD\) với \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Ta có:

\[ M = \frac{A + B}{2} \]
\[ N = \frac{C + D}{2} \]

Theo giả thiết, \(MN = \frac{AD + BC}{2}\).

Bây giờ, ta xét vectơ \(\overrightarrow{MN}\):

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \left( \frac{C + D}{2} \right) - \left( \frac{A + B}{2} \right) = \frac{C + D - A - B}{2} \]

Ta cũng có:

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \]
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \]

Theo giả thiết, độ dài \(MN\) bằng nửa tổng độ dài của \(AD\) và \(BC\):

\[ MN = \frac{|\overrightarrow{AD}| + |\overrightarrow{BC}|}{2} \]

Tuy nhiên, để chứng minh \(ABCD\) là hình thang, ta cần chứng minh rằng \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\). Ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và vectơ để chứng minh điều này.

Xét vectơ \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\):

\[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{D} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \]

Ta có:

\[ \overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{2} \]

Do đó:

\[ 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{D} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \]

Từ đây, ta thấy rằng:

\[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{MN} \]

Điều này có nghĩa là vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương (vì chúng là bội của vectơ \(\overrightarrow{MN}\)).

Do đó, \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\), tức là \(AD \parallel BC\).

Vậy, tứ giác \(ABCD\) là hình thang.