Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu:

### a. Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức ban đầu:
\[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2(x-1)}{\sqrt{x} - 1} \]

#### Bước 1: Rút gọn từng phần tử của biểu thức

1. \(\frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}\):
- Để rút gọn biểu thức này, ta có thể thử phân tích tử và mẫu số, nhưng trong trường hợp này, không có cách nào đơn giản để rút gọn thêm.

2. \(\frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\):
- Chia từng phần tử của tử số cho mẫu số:
\[ \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + 1 \]

3. \(\frac{2(x-1)}{\sqrt{x} - 1}\):
- Để rút gọn biểu thức này, ta có thể nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{x} + 1\) để khử mẫu số:
\[ \frac{2(x-1)}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(x-1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2(x-1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = 2(\sqrt{x} + 1) \]

#### Bước 2: Kết hợp các phần tử đã rút gọn

\[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - (2\sqrt{x} + 1) + 2(\sqrt{x} + 1) \]

#### Bước 3: Rút gọn biểu thức cuối cùng

\[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - 2\sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x} + 2 \]
\[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1 \]

### b. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần xét biểu thức đã rút gọn:
\[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1 \]

Xét hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \).

### c. Tìm \( x \) để biểu thức \( Q \) nhận giá trị là số nguyên âm

Biểu thức \( Q \) được cho là:
\[ Q = \frac{2\sqrt[3]{\sqrt{x}}}{P} \]

Để \( Q \) là số nguyên âm, \( P \) phải là số dương và \( 2\sqrt[3]{\sqrt{x}} \) phải là số âm. Tuy nhiên, \( 2\sqrt[3]{\sqrt{x}} \) không bao giờ là số âm vì căn bậc hai và căn bậc ba của số dương luôn là số dương.

Vậy không có giá trị \( x \) nào để \( Q \) là số nguyên âm.