Để chứng minh rằng \( A = 10^2 + 72n - 1 \) chia hết cho 81, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 81, tức là \( A \mod 81 = 0 \).

Trước hết, ta tính giá trị của \( A \):

\[ A = 10^2 + 72n - 1 \]

\[ A = 100 + 72n - 1 \]

\[ A = 99 + 72n \]

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem \( 99 + 72n \) có chia hết cho 81 hay không. Ta sẽ xem xét biểu thức này theo modulo 81:

\[ 99 \mod 81 = 18 \]

Do đó, ta có:

\[ 99 + 72n \equiv 18 + 72n \mod 81 \]

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem \( 18 + 72n \) có chia hết cho 81 hay không. Ta sẽ xem xét biểu thức này theo modulo 81:

\[ 18 + 72n \mod 81 \]

Ta biết rằng \( 72 \equiv -9 \mod 81 \) (vì \( 72 = 81 - 9 \)).

Do đó, ta có:

\[ 18 + 72n \equiv 18 - 9n \mod 81 \]

Để \( 18 - 9n \equiv 0 \mod 81 \), ta cần:

\[ 18 - 9n \equiv 0 \mod 81 \]

\[ 18 \equiv 9n \mod 81 \]

\[ 2 \equiv n \mod 9 \]

Điều này có nghĩa là \( n \) phải có dạng \( n = 9k + 2 \) với \( k \) là một số nguyên bất kỳ.

Vì vậy, nếu \( n \) có dạng \( n = 9k + 2 \), thì \( A \) sẽ chia hết cho 81. Điều này chứng tỏ rằng \( A = 10^2 + 72n - 1 \) chia hết cho 81 khi \( n \) có dạng \( n = 9k + 2 \).