Để chứng minh rằng nếu \(a, b, c\) là các số dương thỏa mãn \(a + c = 2b\) thì ta luôn có:
\[ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} \]

Trước tiên, ta đặt \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{b}\), và \(z = \sqrt{c}\). Khi đó, ta có:
\[ a = x^2, \quad b = y^2, \quad c = z^2 \]
và điều kiện \(a + c = 2b\) trở thành:
\[ x^2 + z^2 = 2y^2 \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} = \frac{2}{x + z} \]

Bắt đầu từ vế trái:
\[ \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} = \frac{(y + z) + (x + y)}{(x + y)(y + z)} = \frac{x + 2y + z}{(x + y)(y + z)} \]

Bây giờ, ta xét vế phải:
\[ \frac{2}{x + z} \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{x + 2y + z}{(x + y)(y + z)} = \frac{2}{x + z} \]

Nhân cả hai vế với \((x + y)(y + z)(x + z)\):
\[ (x + 2y + z)(x + z) = 2(x + y)(y + z) \]

Mở rộng hai vế:
\[ x^2 + xz + 2xy + 2yz + xz + z^2 = 2(xy + y^2 + yz + y^2) \]
\[ x^2 + 2xz + 2xy + 2yz + z^2 = 2xy + 2y^2 + 2yz + 2y^2 \]
\[ x^2 + 2xz + 2xy + 2yz + z^2 = 2xy + 4y^2 + 2yz \]

Rút gọn:
\[ x^2 + 2xz + z^2 = 4y^2 \]

Điều này đúng vì \(x^2 + z^2 = 2y^2\), do đó:
\[ x^2 + z^2 + 2xz = 4y^2 \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} \]

Điều này kết thúc chứng minh.