Để giải phương trình \(4|3x-1| + |x| - 2|x-5| + 7|x-3| = 12\), ta cần xem xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối.

1. **Trường hợp 1: \(x \geq 5\)**

Khi \(x \geq 5\):
- \(|3x-1| = 3x-1\)
- \(|x| = x\)
- \(|x-5| = x-5\)
- \(|x-3| = x-3\)

Thay vào phương trình:
\[
4(3x-1) + x - 2(x-5) + 7(x-3) = 12
\]
Giải phương trình:
\[
12x - 4 + x - 2x + 10 + 7x - 21 = 12
\]
\[
18x - 15 = 12
\]
\[
18x = 27
\]
\[
x = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}
\]
Nhưng \(\frac{3}{2} < 5\), nên không thỏa mãn điều kiện \(x \geq 5\).

2. **Trường hợp 2: \(3 \leq x < 5\)**

Khi \(3 \leq x < 5\):
- \(|3x-1| = 3x-1\)
- \(|x| = x\)
- \(|x-5| = 5-x\)
- \(|x-3| = x-3\)

Thay vào phương trình:
\[
4(3x-1) + x - 2(5-x) + 7(x-3) = 12
\]
Giải phương trình:
\[
12x - 4 + x - 10 + 2x + 7x - 21 = 12
\]
\[
22x - 35 = 12
\]
\[
22x = 47
\]
\[
x = \frac{47}{22}
\]
Nhưng \(\frac{47}{22} \approx 2.14\), không thỏa mãn điều kiện \(3 \leq x < 5\).

3. **Trường hợp 3: \(1 \leq x < 3\)**

Khi \(1 \leq x < 3\):
- \(|3x-1| = 3x-1\)
- \(|x| = x\)
- \(|x-5| = 5-x\)
- \(|x-3| = 3-x\)

Thay vào phương trình:
\[
4(3x-1) + x - 2(5-x) + 7(3-x) = 12
\]
Giải phương trình:
\[
12x - 4 + x - 10 + 2x + 21 - 7x = 12
\]
\[
8x + 7 = 12
\]
\[
8x = 5
\]
\[
x = \frac{5}{8}
\]
Nhưng \(\frac{5}{8} \approx 0.625\), không thỏa mãn điều kiện \(1 \leq x < 3\).

4. **Trường hợp 4: \(x < 1\)**

Khi \(x < 1\):
- \(|3x-1| = 1-3x\)
- \(|x| = -x\)
- \(|x-5| = 5-x\)
- \(|x-3| = 3-x\)

Thay vào phương trình:
\[
4(1-3x) - x - 2(5-x) + 7(3-x) = 12
\]
Giải phương trình:
\[
4 - 12x - x - 10 + 2x + 21 - 7x = 12
\]
\[
4 - 17x + 11 = 12
\]
\[
15 - 17x = 12
\]
\[
-17x = -3
\]
\[
x = \frac{3}{17}
\]
\(\frac{3}{17} \approx 0.176\), thỏa mãn điều kiện \(x < 1\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{17}\).