### 4.5. Diện tích của tam giác cân có góc ở đáy bằng α

#### a) Cạnh bên bằng b

Giả sử tam giác cân có hai cạnh bên bằng b và góc ở đáy bằng α. Để tính diện tích của tam giác này, ta cần tính chiều cao h từ đỉnh xuống đáy.

Trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao h, cạnh bên b và nửa cạnh đáy, ta có:
\[ \cos(\alpha/2) = \frac{a/2}{b} \]
\[ a = 2b \cos(\alpha/2) \]

Diện tích tam giác cân là:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ h = b \sin(\alpha/2) \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 2b \cos(\alpha/2) \times b \sin(\alpha/2) \]
\[ S = b^2 \cos(\alpha/2) \sin(\alpha/2) \]
\[ S = \frac{1}{2} b^2 \sin(\alpha) \]

#### b) Cạnh đáy bằng a

Giả sử tam giác cân có cạnh đáy bằng a và góc ở đáy bằng α. Để tính diện tích của tam giác này, ta cần tính chiều cao h từ đỉnh xuống đáy.

Trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao h, cạnh bên b và nửa cạnh đáy, ta có:
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{h}{a/2} \]
\[ h = \frac{a}{2} \tan(\alpha/2) \]

Diện tích tam giác cân là:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} \tan(\alpha/2) \]
\[ S = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha/2) \]

### 4.6. Diện tích của hình thang ABCD

Giả sử hình thang ABCD có tổng của hai đáy AD và BC bằng b, đường chéo AC bằng a, góc ACB bằng α. Để tính diện tích của hình thang này, ta cần tính chiều cao h từ đỉnh xuống đáy.

Trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao h, cạnh bên b và nửa cạnh đáy, ta có:
\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{a} \]
\[ h = a \sin(\alpha) \]

Diện tích hình thang là:
\[ S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h \]
\[ S = \frac{1}{2} \times b \times a \sin(\alpha) \]
\[ S = \frac{1}{2} ab \sin(\alpha) \]

### 4.7. Tính AH trong tam giác ABC

Cho tam giác ABC có BC = 7, ∠ABC = 42°, ∠ACB = 35°. Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. Để tính AH, ta cần sử dụng định lý sin và cosin.

Trong tam giác ABC, ta có:
\[ \angle BAC = 180° - 42° - 35° = 103° \]

Sử dụng định lý sin:
\[ \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \]
\[ \frac{7}{\sin(103°)} = \frac{AB}{\sin(35°)} \]
\[ AB = \frac{7 \sin(35°)}{\sin(103°)} \]

Sử dụng định lý cosin để tính AC:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \]
\[ AC = \sqrt{AB^2 + 7^2 - 2 \cdot AB \cdot 7 \cdot \cos(42°)} \]

Sử dụng định lý sin để tính AH:
\[ AH = AB \cdot \sin(35°) \]

### 4.8. Chứng minh các công thức trong tam giác nhọn MNP

#### a) \( S_{MNP} = \frac{1}{2} MP \cdot NP \cdot \sin(P) \)

Diện tích tam giác MNP được tính bằng công thức:
\[ S_{MNP} = \frac{1}{2} \times MP \times NP \times \sin(\angle MNP) \]

#### b) \( DP = \frac{MN \cdot \sin(N)}{\tan(P)} \)

Trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao DP, cạnh MN và góc N, ta có:
\[ \sin(N) = \frac{DP}{MN} \]
\[ DP = MN \cdot \sin(N) \]

Trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao DP, cạnh MN và góc P, ta có:
\[ \tan(P) = \frac{DP}{MN} \]
\[ DP = \frac{MN \cdot \sin(N)}{\tan(P)} \]

#### c) \( \Delta DNE \sim \Delta MNP \)

Trong tam giác nhọn MNP, gọi E là chân đường cao từ P. Ta có:
\[ \angle DNE = \angle MNP \]
\[ \frac{DE}{MP} = \frac{NE}{NP} \]

Do đó, \(\Delta DNE \sim \Delta MNP\).