Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^2 + 2y^2 + xy = x + 2xy^2 + y + 1\), ta sẽ bắt đầu bằng cách đơn giản hóa phương trình này.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình:
\[ x^2 + 2y^2 + xy = x + 2xy^2 + y + 1 \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:
\[ x^2 + 2y^2 + xy - x - 2xy^2 - y - 1 = 0 \]

Nhóm các hạng tử lại:
\[ x^2 + xy - x + 2y^2 - 2xy^2 - y - 1 = 0 \]

Tiếp tục nhóm và đơn giản hóa:
\[ x^2 + xy - x + 2y^2(1 - x) - y - 1 = 0 \]

Chúng ta sẽ thử nghiệm một số giá trị nguyên của \(x\) và \(y\) để xem liệu có nghiệm nào thỏa mãn phương trình hay không.

Giả sử \(x = 0\):
\[ 0^2 + 2y^2 + 0 \cdot y - 0 + 2y^2 \cdot (1 - 0) - y - 1 = 0 \]
\[ 2y^2 + 2y^2 - y - 1 = 0 \]
\[ 4y^2 - y - 1 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai theo \(y\). Ta giải phương trình này:
\[ 4y^2 - y - 1 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ay^2 + by + c = 0\):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \(a = 4\), \(b = -1\), và \(c = -1\):
\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \]
\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{8} \]
\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8} \]

Vì \(\sqrt{17}\) không phải là số nguyên, nên \(y\) không phải là số nguyên khi \(x = 0\).

Tiếp tục thử với \(x = 1\):
\[ 1^2 + 2y^2 + 1 \cdot y - 1 + 2y^2 \cdot (1 - 1) - y - 1 = 0 \]
\[ 1 + 2y^2 + y - 1 - y - 1 = 0 \]
\[ 2y^2 - 1 = 0 \]
\[ 2y^2 = 1 \]
\[ y^2 = \frac{1}{2} \]

Vì \(y^2 = \frac{1}{2}\) không phải là số nguyên, nên \(y\) không phải là số nguyên khi \(x = 1\).

Tiếp tục thử với \(x = -1\):
\[ (-1)^2 + 2y^2 + (-1) \cdot y - (-1) + 2y^2 \cdot (1 - (-1)) - y - 1 = 0 \]
\[ 1 + 2y^2 - y + 1 + 2y^2 \cdot 2 - y - 1 = 0 \]
\[ 1 + 2y^2 - y + 1 + 4y^2 - y - 1 = 0 \]
\[ 6y^2 - 2y + 1 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai theo \(y\). Ta giải phương trình này:
\[ 6y^2 - 2y + 1 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ay^2 + by + c = 0\):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \(a = 6\), \(b = -2\), và \(c = 1\):
\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} \]
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{12} \]
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{12} \]

Vì \(\sqrt{-20}\) không phải là số thực, nên không có nghiệm thực cho \(y\) khi \(x = -1\).

Từ các thử nghiệm trên, ta thấy rằng không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình \(x^2 + 2y^2 + xy = x + 2xy^2 + y + 1\).