Để chứng minh \( AC \parallel BD \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các tam giác đồng dạng.

Giả sử \( O \) là gốc tọa độ, \( A \) và \( B \) nằm trên tia \( Ox \), \( C \) và \( D \) nằm trên tia \( Oy \). Theo giả thiết, ta có:
- \( OA = OC \)
- \( AB = CD \)

Bước 1: Xét tam giác \( OAC \) và tam giác \( OBD \).

Do \( OA = OC \) và \( OB = OD \) (vì \( B \) và \( D \) nằm trên các tia đối xứng qua \( O \)), ta có:
\[ \triangle OAC \text{ và } \triangle OBD \text{ là các tam giác cân tại } O. \]

Bước 2: Xét tam giác \( OAB \) và tam giác \( OCD \).

Do \( AB = CD \) và \( OA = OC \), ta có:
\[ \triangle OAB \text{ và } \triangle OCD \text{ là các tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c).} \]

Bước 3: Sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Vì \( \triangle OAB \sim \triangle OCD \), các góc tương ứng của chúng bằng nhau. Đặc biệt, ta có:
\[ \angle OAB = \angle OCD. \]

Bước 4: Sử dụng tính chất của các góc đồng vị.

Xét hai đường thẳng \( AC \) và \( BD \). Ta có:
- \( \angle OAC \) và \( \angle OBD \) là các góc đồng vị.
- Do \( \angle OAC = \angle OBD \) (vì \( \triangle OAC \) và \( \triangle OBD \) là các tam giác cân tại \( O \)).

Vì \( \angle OAC = \angle OBD \), theo định lý về các góc đồng vị, ta có:
\[ AC \parallel BD. \]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AC \parallel BD \).