Để hàm số \( f(x) = 2x^3 - 3(m + 2)x^2 + 6(m + 1)x - 1 \) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2, ta cần tìm điều kiện để đạo hàm của hàm số này luôn âm trên khoảng đó.

Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số:
\[ f'(x) = 6x^2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1) \]

Để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2, đạo hàm \( f'(x) \) phải luôn âm trên khoảng đó. Điều này có nghĩa là phương trình \( f'(x) = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) sao cho \( x_2 - x_1 = 2 \).

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[ 6x^2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1) = 0 \]
\[ x^2 - (m + 2)x + (m + 1) = 0 \]

Gọi hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Vi-et, ta có:
\[ x_1 + x_2 = m + 2 \]
\[ x_1 x_2 = m + 1 \]

Vì \( x_2 - x_1 = 2 \), ta có:
\[ (x_1 + 2) - x_1 = 2 \]
\[ x_2 = x_1 + 2 \]

Thay vào phương trình Vi-et:
\[ x_1 + (x_1 + 2) = m + 2 \]
\[ 2x_1 + 2 = m + 2 \]
\[ 2x_1 = m \]
\[ x_1 = \frac{m}{2} \]

Và:
\[ x_1 (x_1 + 2) = m + 1 \]
\[ \frac{m}{2} \left( \frac{m}{2} + 2 \right) = m + 1 \]
\[ \frac{m}{2} \cdot \frac{m + 4}{2} = m + 1 \]
\[ \frac{m^2 + 4m}{4} = m + 1 \]
\[ m^2 + 4m = 4m + 4 \]
\[ m^2 = 4 \]
\[ m = \pm 2 \]

Vậy tổng các giá trị của \( m \) là:
\[ 2 + (-2) = 0 \]

Tổng các giá trị của \( m \) là \( 0 \).