Để tìm tổng các số nguyên trong các khoảng đã cho, ta cần liệt kê các số nguyên trong mỗi khoảng và sau đó tính tổng của chúng.

a. \(-12 < x < 13\)

Các số nguyên trong khoảng này là: \(-11, -10, -9, ..., 0, 1, 2, ..., 11, 12\).

Tổng của dãy số này có thể tính bằng công thức tổng của một dãy số nguyên liên tiếp:
\[ \text{Tổng} = \frac{n(n+1)}{2} \]
với \( n \) là số lượng số nguyên dương trong dãy.

Ở đây, từ \(-11\) đến \(12\) có tổng cộng \(24\) số nguyên (từ \(-11\) đến \(11\) là \(23\) số và thêm số \(12\)).

Tổng các số từ \(-11\) đến \(11\) là:
\[ \text{Tổng} = \frac{11 \times 12}{2} = 66 \]

Tổng các số từ \(1\) đến \(12\) là:
\[ \text{Tổng} = \frac{12 \times 13}{2} = 78 \]

Tổng các số từ \(-11\) đến \(0\) là:
\[ \text{Tổng} = -\frac{11 \times 12}{2} = -66 \]

Vậy tổng các số từ \(-11\) đến \(12\) là:
\[ 78 + (-66) = 12 \]

b. \(-12 \leq x < 13\)

Các số nguyên trong khoảng này là: \(-12, -11, -10, ..., 0, 1, 2, ..., 11, 12\).

Tổng các số từ \(-12\) đến \(12\) là:
\[ \text{Tổng} = \frac{12 \times 13}{2} = 78 \]

Tổng các số từ \(-12\) đến \(0\) là:
\[ \text{Tổng} = -\frac{12 \times 13}{2} = -78 \]

Vậy tổng các số từ \(-12\) đến \(12\) là:
\[ 78 + (-78) = 0 \]

c. \(-12 \leq x \leq 13\)

Các số nguyên trong khoảng này là: \(-12, -11, -10, ..., 0, 1, 2, ..., 12, 13\).

Tổng các số từ \(-12\) đến \(13\) là:
\[ \text{Tổng} = \frac{13 \times 14}{2} = 91 \]

Tổng các số từ \(-12\) đến \(0\) là:
\[ \text{Tổng} = -\frac{12 \times 13}{2} = -78 \]

Vậy tổng các số từ \(-12\) đến \(13\) là:
\[ 91 + (-78) = 13 \]

d. \(-120 \leq x < 121\)

Các số nguyên trong khoảng này là: \(-120, -119, -118, ..., 0, 1, 2, ..., 119, 120\).

Tổng các số từ \(-120\) đến \(120\) là:
\[ \text{Tổng} = \frac{120 \times 121}{2} = 7260 \]

Tổng các số từ \(-120\) đến \(0\) là:
\[ \text{Tổng} = -\frac{120 \times 121}{2} = -7260 \]

Vậy tổng các số từ \(-120\) đến \(120\) là:
\[ 7260 + (-7260) = 0 \]

Tóm lại:
a. Tổng các số nguyên trong khoảng \(-12 < x < 13\) là \(12\).
b. Tổng các số nguyên trong khoảng \(-12 \leq x < 13\) là \(0\).
c. Tổng các số nguyên trong khoảng \(-12 \leq x \leq 13\) là \(13\).
d. Tổng các số nguyên trong khoảng \(-120 \leq x < 121\) là \(0\).