Để giải hệ phương trình bạn đã đưa ra, chúng ta sẽ bắt đầu với hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x^2 + 2(y^2 + 2y) = 10 \quad (1) \\
3x^2 - (y^2 + 2y) = 9 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình (1)**

Từ phương trình (1), ta có:

\[
x^2 + 2y^2 + 4y = 10
\]

Hay là:

\[
x^2 = 10 - 2y^2 - 4y \quad (3)
\]

**Bước 2: Thay \(x^2\) vào phương trình (2)**

Thay (3) vào phương trình (2):

\[
3(10 - 2y^2 - 4y) - (y^2 + 2y) = 9
\]

Giải phương trình này:

\[
30 - 6y^2 - 12y - y^2 - 2y = 9
\]

Tóm gọn lại:

\[
30 - 7y^2 - 14y = 9
\]

Hay là:

\[
-7y^2 - 14y + 21 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -7:

\[
y^2 + 2y - 3 = 0
\]

**Bước 3: Giải phương trình bậc hai**

Phương trình này có thể được giải bằng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
\]

Với \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\):

\[
y = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}}}{2 \cdot 1}
\]

\[
y = \frac{{-2 \pm \sqrt}}{2}
\]
\[
y = \frac{{-2 \pm 4}}{2}
\]

Nghiệm của \(y\) là:

\[
y_1 = 1 \quad \text{và} \quad y_2 = -3
\]

**Bước 4: Tìm giá trị tương ứng với \(x\)**

Thay các giá trị của \(y\) vào phương trình (3) để tìm \(x\).

1. Với \(y = 1\):

\[
x^2 = 10 - 2(1^2) - 4(1) = 10 - 2 - 4 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2
\]

2. Với \(y = -3\):

\[
x^2 = 10 - 2(-3^2) - 4(-3) = 10 - 2(9) + 12 = 10 - 18 + 12 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2
\]

**Kết quả:**

Các cặp nghiệm là:

1. \((x, y) = (2, 1)\)
2. \((x, y) = (-2, 1)\)
3. \((x, y) = (2, -3)\)
4. \((x, y) = (-2, -3)\)

Vậy hệ đã có 4 nghiệm khả thi.