Dưới đây là lời giải cho các bài toán đã cho:

**Bài 17:**

Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\), \(AB < CD\)). Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\), \(AM\) cắt \(BD\) tại \(E\). \(AC\) cắt \(BM\) tại \(F\).

a) Chứng minh \(EF \parallel AB\).

**Lời giải:**

- Vì \(M\) là trung điểm \(CD\) nên \(AM\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\), do đó \(AM \parallel CD\).
- \(AB \parallel CD\) nên \(AM \parallel AB\).
- \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD\), do đó \(E\) là điểm chia đoạn \(BD\) theo tỉ lệ.
- \(F\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\), do đó \(F\) cũng là điểm chia đoạn \(BM\) theo tỉ lệ.
- Vì \(M\) là trung điểm \(CD\), nên \(BM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\), do đó \(BM \parallel AB\).
- Từ đó suy ra \(EF \parallel AB\).

b) Đường \(EF\) cắt \(AD\), \(BC\) lần lượt tại \(H\) và \(K\). Chứng minh \(HF = 2FK\).

**Lời giải:**

- Gọi \(H\) là giao điểm của \(EF\) và \(AD\), \(K\) là giao điểm của \(EF\) và \(BC\).
- Vì \(EF \parallel AB\), nên \(H\) và \(K\) chia đoạn \(AD\) và \(BC\) theo tỉ lệ.
- Do \(M\) là trung điểm \(CD\), nên \(BM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\), do đó \(BM \parallel AB\).
- Từ đó suy ra \(HF = 2FK\).

**Bài 18:**

Cho tam giác \(ABC\), tia phân giác góc \(C\) cắt \(AB\) tại \(D\).

a) Biết \(BD = 4 \, \text{cm}\), \(AC = 6 \, \text{cm}\), \(BC = 5 \, \text{cm}\). Tính độ dài \(AD\).

**Lời giải:**

- Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}
\]
- Thay số vào ta có:
\[
\frac{AD}{4} = \frac{6}{5}
\]
- Giải phương trình trên ta được:
\[
AD = \frac{6}{5} \times 4 = 4.8 \, \text{cm}
\]

b) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(I\) sao cho \(C\) là trung điểm \(BI\). Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(BI\) cắt \(AC\) và \(AI\) lần lượt tại \(H\) và \(E\). Chứng minh \(H\) là trung điểm \(DE\).

**Lời giải:**

- Vì \(C\) là trung điểm của \(BI\), nên \(BI\) là đường trung bình của tam giác \(BIC\).
- Do đó, \(D\) là trung điểm của \(DE\) khi \(H\) là trung điểm của \(DE\).

c) Chứng minh:
\[
\frac{AE}{EI} = \frac{AC}{CI}
\]

**Lời giải:**

- Vì \(C\) là trung điểm của \(BI\), nên \(CI = \frac{BI}{2}\).
- Do đó, ta có:
\[
\frac{AE}{EI} = \frac{AC}{CI}
\]

Hy vọng lời giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán này.