Để chứng minh tam giác BAC = tam giác BDF và D, E, F thẳng hàng, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh tam giác BAC = tam giác BDF:**

- Tam giác ABC vuông tại A, do đó \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Trên cạnh BC lấy D sao cho BD = BA. Do đó, tam giác ABD cân tại B.
- Tia phân giác của góc B cắt AC tại E, do đó \( \angle ABE = \angle EBC \).
- Xét tam giác ABD và tam giác BDF:
- \( BD = BA \) (giả thiết)
- \( \angle ABD = \angle BDF \) (vì \( \angle ABD = \angle BAC = 90^\circ \))
- \( \angle ADB = \angle BDF \) (vì \( \angle ADB = 90^\circ - \angle ABD \) và \( \angle BDF = 90^\circ - \angle BDF \))
- Do đó, tam giác ABD = tam giác BDF (cạnh - góc - cạnh).

2. **Chứng minh D, E, F thẳng hàng:**

- Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H.
- CH cắt đường thẳng AB tại F.
- Ta cần chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
- Xét tam giác ABD và tam giác BDF:
- \( BD = BA \) (giả thiết)
- \( \angle ABD = \angle BDF \) (vì \( \angle ABD = \angle BAC = 90^\circ \))
- \( \angle ADB = \angle BDF \) (vì \( \angle ADB = 90^\circ - \angle ABD \) và \( \angle BDF = 90^\circ - \angle BDF \))
- Do đó, tam giác ABD = tam giác BDF (cạnh - góc - cạnh).
- Từ đó suy ra \( \angle ADB = \angle BDF \).
- Vì \( E \) nằm trên tia phân giác của góc \( B \), nên \( E \) nằm trên đường thẳng nối \( D \) và \( F \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác BAC = tam giác BDF và D, E, F thẳng hàng.