Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tam giác ADE cân tại A

Vì tam giác ABC cân tại A nên \( AB = AC \).

- BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có \( BM = MC \).

Do đó, trong tam giác ADE, ta có:
- AD là đường trung tuyến của tam giác ADE.
- Vì tam giác ABC cân tại A nên \( AB = AC \).

Do đó, tam giác ADE cân tại A.

### b) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ACE

Xét hai tam giác ABD và ACE:
- \( AB = AC \) (vì tam giác ABC cân tại A).
- \( BD = CE \) (vì BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác ABC).
- \( AD = AD \) (cạnh chung).

Do đó, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c), ta có:
\[ \Delta ABD = \Delta ACE \]

### c) Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân

Xét tứ giác BCDE:
- BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có \( BM = MC \).

Vì tam giác ABC cân tại A, nên:
- \( \angle ABD = \angle ACE \) (do tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau).

Do đó, tứ giác BCDE có hai cạnh đối song song và bằng nhau (BD và CE), nên BCDE là hình thang cân.

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.