Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tìm giá trị của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) từ điều kiện \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).

Ta có:
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{3}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\cos \alpha = \frac{1}{3} \sin \alpha
\]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
Thay \(\cos \alpha = \frac{1}{3} \sin \alpha\) vào phương trình trên:
\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{3} \sin \alpha\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{9} \sin^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{10}{9} \sin^2 \alpha = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha = \frac{9}{10}
\]
\[
\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}
\]

Với \(\cos \alpha\):
\[
\cos \alpha = \frac{1}{3} \sin \alpha = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

Bây giờ ta thay \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) vào biểu thức của \(P\):
\[
P = \frac{3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha}{2 \sin \alpha - 5 \cos \alpha}
\]

Thay \(\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}\) và \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\):
\[
P = \frac{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}{2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}
\]
\[
P = \frac{\frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{4}{\sqrt{10}}}{\frac{6}{\sqrt{10}} - \frac{5}{\sqrt{10}}}
\]
\[
P = \frac{\frac{13}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}
\]
\[
P = 13
\]

Vậy giá trị của \(P\) là \(13\).