Để tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{x-2} + 1}{x^2 - 3x + 2} \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm đường tiệm cận đứng:
Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0 tại các giá trị đó.

Xét mẫu số:
\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \]
\[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \]

Xét tử số tại các giá trị này:
- Tại \( x = 1 \):
\[ \sqrt{1-2} + 1 = \sqrt{-1} + 1 \]
Giá trị này không xác định trong tập số thực, do đó \( x = 1 \) không phải là đường tiệm cận đứng.

- Tại \( x = 2 \):
\[ \sqrt{2-2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1 \]
Tử số khác 0 tại \( x = 2 \).

Vậy, đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \).

### 2. Tìm đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi \( x \) tiến tới vô cùng (\( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \)).

Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x-2} + 1}{x^2 - 3x + 2} \]

Tử số:
\[ \sqrt{x-2} + 1 \approx \sqrt{x} \quad \text{khi} \quad x \to \infty \]

Mẫu số:
\[ x^2 - 3x + 2 \approx x^2 \quad \text{khi} \quad x \to \infty \]

Do đó:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3/2}} = 0 \]

Tương tự, khi \( x \to -\infty \), hàm số không xác định vì \( \sqrt{x-2} \) không xác định trong tập số thực.

Vậy, đường tiệm cận ngang là \( y = 0 \).

### Kết luận:
- Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \)
- Đường tiệm cận ngang: \( y = 0 \)