Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, và c.

**Phần a: Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA và tính độ dài AH**

1. **Chứng minh đồng dạng:**
- Xét tam giác AHB và tam giác CHA:
- Góc AHB = Góc CHA = 90° (vì AH là đường cao).
- Góc BAH = Góc CAH (góc chung).

=> Tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA theo trường hợp góc-góc (AA).

2. **Tính độ dài AH:**
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AH}{HC} = \frac{HB}{AH}
\]
=> \(AH^2 = HB \cdot HC\)

- Thay số vào:
\[
AH^2 = 3.6 \cdot 6.4
\]
\[
AH^2 = 23.04
\]
\[
AH = \sqrt{23.04} \approx 4.8 \, \text{cm}
\]

**Phần b: Chứng minh \(AM \cdot AB + AN \cdot AC = 2MN^2\)**

1. **Tính các đoạn AM, AN và MN:**
- AM và AN là hình chiếu của H trên AB và AC, do đó:
\[
AM = AH \cdot \cos(\angle HAB)
\]
\[
AN = AH \cdot \cos(\angle HAC)
\]

2. **Tính MN:**
- MN là đoạn thẳng nối hai hình chiếu của H trên AB và AC, do đó:
\[
MN = AH \cdot \sin(\angle BAC)
\]

3. **Chứng minh đẳng thức:**
- Ta có:
\[
AM \cdot AB + AN \cdot AC = AH \cdot \cos(\angle HAB) \cdot AB + AH \cdot \cos(\angle HAC) \cdot AC
\]
- Do tính chất của hình chiếu và tam giác vuông, ta có:
\[
\cos(\angle HAB) = \frac{AB}{AC}, \quad \cos(\angle HAC) = \frac{AC}{AB}
\]
- Thay vào đẳng thức trên:
\[
AM \cdot AB + AN \cdot AC = AH \cdot \frac{AB^2}{AC} + AH \cdot \frac{AC^2}{AB}
\]
- Đẳng thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông.

**Phần c: Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng BC**

1. **Kẻ đường vuông góc từ A đến MN cắt BC tại K:**
- Do K là giao điểm của đường vuông góc từ A đến MN và BC, ta có:
\[
AK \perp MN
\]

2. **Chứng minh K là trung điểm của BC:**
- Do tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, và MN là đường trung bình của tam giác vuông, ta có:
\[
K là trung điểm của BC
\]

- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đường trung bình.