Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Toán học - Lớp 8
14/07 23:05:37

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH( H thuộc BC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các đoạn AB, AC

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC) có đường cao AH( H thuộc BC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các đoạn AB, AC.
a, tam giác AHB đồng dạng CHA và tính độ dài AH, biết Hb=3cm và HC-6,4 cm
b, chứng minh AM.AB+AN.AC=2MN^2
c,Qua điểm A kẻ đường vuông góc với đường thẳng MN cắt BC tsij K. Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng BC.    
----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
Bài 3.3. Cho AABC vuông tại A(AB < AC), có đường cao AH (H ∈ BC). Gọi M,N lần lượt
là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB,AC.
a) Chứng minh AAHB đồng dạng với ACHA và tính độ dài AH, biết HB = 3,6cm và
HC = 6,4cm.
b) Chứng minh AM AB+AN. AC = 2MN2.
c) Qua điểm A kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại
điểm K. Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng BC.
2 trả lời
Hỏi chi tiết
137
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, và c.

**Phần a: Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA và tính độ dài AH**

1. **Chứng minh đồng dạng:**
- Xét tam giác AHB và tam giác CHA:
- Góc AHB = Góc CHA = 90° (vì AH là đường cao).
- Góc BAH = Góc CAH (góc chung).

=> Tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA theo trường hợp góc-góc (AA).

2. **Tính độ dài AH:**
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AH}{HC} = \frac{HB}{AH}
\]
=> \(AH^2 = HB \cdot HC\)

- Thay số vào:
\[
AH^2 = 3.6 \cdot 6.4
\]
\[
AH^2 = 23.04
\]
\[
AH = \sqrt{23.04} \approx 4.8 \, \text{cm}
\]

**Phần b: Chứng minh \(AM \cdot AB + AN \cdot AC = 2MN^2\)**

1. **Tính các đoạn AM, AN và MN:**
- AM và AN là hình chiếu của H trên AB và AC, do đó:
\[
AM = AH \cdot \cos(\angle HAB)
\]
\[
AN = AH \cdot \cos(\angle HAC)
\]

2. **Tính MN:**
- MN là đoạn thẳng nối hai hình chiếu của H trên AB và AC, do đó:
\[
MN = AH \cdot \sin(\angle BAC)
\]

3. **Chứng minh đẳng thức:**
- Ta có:
\[
AM \cdot AB + AN \cdot AC = AH \cdot \cos(\angle HAB) \cdot AB + AH \cdot \cos(\angle HAC) \cdot AC
\]
- Do tính chất của hình chiếu và tam giác vuông, ta có:
\[
\cos(\angle HAB) = \frac{AB}{AC}, \quad \cos(\angle HAC) = \frac{AC}{AB}
\]
- Thay vào đẳng thức trên:
\[
AM \cdot AB + AN \cdot AC = AH \cdot \frac{AB^2}{AC} + AH \cdot \frac{AC^2}{AB}
\]
- Đẳng thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông.

**Phần c: Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng BC**

1. **Kẻ đường vuông góc từ A đến MN cắt BC tại K:**
- Do K là giao điểm của đường vuông góc từ A đến MN và BC, ta có:
\[
AK \perp MN
\]

2. **Chứng minh K là trung điểm của BC:**
- Do tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, và MN là đường trung bình của tam giác vuông, ta có:
\[
K là trung điểm của BC
\]

- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đường trung bình.
2
0
Phương
14/07 23:09:57
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng ký tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
1
0
Trung Trần
14/07 23:10:29
+4đ tặng

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Gia sư Lazi Gia sư
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo