Chúng ta sẽ giải bài toán từng phần một.

### Phần a: Chứng minh \(AM\) vuông góc với \(BC\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), do đó \(AB = AC\).

M là trung điểm của \(BC\), do đó \(BM = MC\).

Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\):
- \(AB = AC\) (giả thiết tam giác cân)
- \(BM = MC\) (M là trung điểm của \(BC\))
- \(AM\) là cạnh chung

Do đó, tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (SSS).

Vì hai tam giác này bằng nhau, nên góc \(BAM = CAM\). Do đó, \(AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc \(BAC\).

Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường cao. Do đó, \(AM\) vuông góc với \(BC\).

### Phần b: Chứng minh \(AM\) là đường phân giác của góc \(DAE\)

Ta có \(BD = CE\) (giả thiết).

Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\).

Xét tam giác \(BMD\) và tam giác \(CME\):
- \(BM = MC\) (M là trung điểm của \(BC\))
- \(BD = CE\) (giả thiết)
- \(MD = ME\) (vì \(D\) và \(E\) nằm trên tia đối của \(BC\) và \(CB\) tương ứng, và \(M\) là trung điểm)

Do đó, tam giác \(BMD\) và tam giác \(CME\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (SSS).

Vì hai tam giác này bằng nhau, nên góc \(BMD = CME\).

Do \(AM\) vuông góc với \(BC\) (phần a đã chứng minh), nên \(AM\) cũng là đường phân giác của góc \(DAE\).

### Phần c: Chứng minh góc \(MAD = MBH\)

Kẻ \(BK\) vuông góc với \(AD\) tại \(K\). Trên tia đối của tia \(BK\) lấy điểm \(H\) sao cho \(BH = AE\). Trên tia đối của tia \(AM\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = CE\).

Ta cần chứng minh góc \(MAD = MBH\).

Xét tam giác \(BKH\) và tam giác \(AEK\):
- \(BK = AE\) (giả thiết \(BH = AE\))
- \(KH\) là cạnh chung
- Góc \(BKH = AEK = 90^\circ\)

Do đó, tam giác \(BKH\) và tam giác \(AEK\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

Vì hai tam giác này bằng nhau, nên góc \(MBH = MAE\).

Do \(AM\) là đường phân giác của góc \(DAE\) (phần b đã chứng minh), nên góc \(MAD = MAE\).

Do đó, góc \(MAD = MBH\).

Vậy ta đã chứng minh được các phần của bài toán.