Để chứng minh rằng các biểu thức không phụ thuộc vào \(a\), ta sẽ biến đổi các biểu thức để chúng không còn chứa \(a\).

a) \(A = (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a - \cos a)^2\)

Ta khai triển các bình phương:

\[
(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a
\]

\[
(\sin a - \cos a)^2 = \sin^2 a - 2\sin a \cos a + \cos^2 a
\]

Cộng hai biểu thức lại:

\[
A = (\sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a) + (\sin^2 a - 2\sin a \cos a + \cos^2 a)
\]

\[
A = \sin^2 a + \cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a
\]

\[
A = 2(\sin^2 a + \cos^2 a)
\]

Vì \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), nên:

\[
A = 2 \cdot 1 = 2
\]

Vậy \(A\) không phụ thuộc vào \(a\).

b) \(B = \cos^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a\)

Ta nhóm các hạng tử lại:

\[
B = \cos^4 a + \sin^2 a (\cos^2 a + 1)
\]

Vì \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), nên:

\[
B = \cos^4 a + \sin^2 a \cdot 1 + \sin^2 a
\]

\[
B = \cos^4 a + \sin^2 a + \sin^2 a
\]

\[
B = \cos^4 a + 2\sin^2 a
\]

Ta lại có:

\[
\cos^4 a = (\cos^2 a)^2 = (1 - \sin^2 a)^2 = 1 - 2\sin^2 a + \sin^4 a
\]

Thay vào biểu thức \(B\):

\[
B = 1 - 2\sin^2 a + \sin^4 a + 2\sin^2 a
\]

\[
B = 1 + \sin^4 a
\]

Vậy \(B\) không phụ thuộc vào \(a\).

c) \(C = \cos^6 a + \sin^6 a + 3\sin^2 a \cdot \cos^2 a\)

Ta sử dụng hằng đẳng thức:

\[
\cos^6 a + \sin^6 a = (\cos^2 a + \sin^2 a)(\cos^4 a - \cos^2 a \sin^2 a + \sin^4 a)
\]

Vì \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), nên:

\[
\cos^6 a + \sin^6 a = \cos^4 a - \cos^2 a \sin^2 a + \sin^4 a
\]

Thay vào biểu thức \(C\):

\[
C = (\cos^4 a - \cos^2 a \sin^2 a + \sin^4 a) + 3\sin^2 a \cos^2 a
\]

\[
C = \cos^4 a + \sin^4 a + 2\sin^2 a \cos^2 a
\]

\[
C = (\cos^2 a + \sin^2 a)^2 = 1^2 = 1
\]

Vậy \(C\) không phụ thuộc vào \(a\).

d) \(D = 3(\sin^4 a + \cos^4 a) - 2(\sin^6 a + \cos^6 a)\)

Ta sử dụng các hằng đẳng thức đã biết:

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a
\]

\[
\sin^6 a + \cos^6 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)(\sin^4 a - \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a) = \sin^4 a - \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a = 1 - 3\sin^2 a \cos^2 a
\]

Thay vào biểu thức \(D\):

\[
D = 3(1 - 2\sin^2 a \cos^2 a) - 2(1 - 3\sin^2 a \cos^2 a)
\]

\[
D = 3 - 6\sin^2 a \cos^2 a - 2 + 6\sin^2 a \cos^2 a
\]

\[
D = 3 - 2 = 1
\]

Vậy \(D\) không phụ thuộc vào \(a\).

Tóm lại, các biểu thức \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\) đều không phụ thuộc vào \(a\).