Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và hình học cơ bản.

a) Chứng minh rằng diện tích tam giác \( S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B \).

Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể được tính bằng công thức:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times CA \times \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C \]

Tương tự, ta cũng có thể tính diện tích tam giác bằng các cạnh và góc khác:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin \angle ACB = \frac{1}{2} \times c \times a \times \sin B \]

Và:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times CA \times AB \times \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A \]

Vậy ta có:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B \]

b) Chứng minh rằng:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Đây là nội dung của định lý sin trong tam giác. Định lý sin phát biểu rằng trong một tam giác, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó là không đổi. Cụ thể, với tam giác \( ABC \):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng diện tích tam giác đã tính ở phần a).

Từ phần a), ta có:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ab \sin C \]
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A \]
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ca \sin B \]

Do đó:
\[ \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B \]

Chia cả hai vế của mỗi đẳng thức cho \( \frac{1}{2}abc \), ta được:
\[ \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} \]

Lấy nghịch đảo của các tỉ số này, ta có:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Vậy ta đã chứng minh được các đẳng thức cần thiết.