Để giải phương trình \(\sin x + \cos x = 0\), ta có thể viết lại như sau:

\[
\sin x = -\cos x
\]

Chia cả hai vế cho \(\cos x\) (với \(\cos x \neq 0\)), ta được:

\[
\tan x = -1
\]

Phương trình \(\tan x = -1\) có nghiệm tại các điểm:

\[
x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Ngoài ra, còn có trường hợp khi \(\cos x = 0\), tức là \(\sin x + \cos x = 0\) không còn hợp lệ. Các nghiệm này là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

Tuy nhiên, để tìm nghiệm cho phương trình gốc \(\sin x + \cos x = 0\), ta chỉ cần lấy nghiệm từ phương trình \(\tan x = -1\).

Vậy nghiệm của phương trình \(\sin x + \cos x = 0\) là:

\[
x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]