Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức diện tích tam giác và các tính chất của tam giác vuông.

a) Chứng minh \( S_{ADE} = S_{ABC} \cdot \cos^2 A \):

Xét tam giác \( ABC \) với \( BD \) và \( CE \) là hai đường cao. Gọi \( H \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \).

- Diện tích tam giác \( ABC \):
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \]

- Diện tích tam giác \( ADE \):
\[ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot AH \]

Do \( DE \) là đoạn thẳng nối từ \( D \) đến \( E \) và \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( DE \), ta có:
\[ DE = BC \cdot \cos A \]
\[ AH = AD \cdot \cos A \]

Vậy:
\[ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot (BC \cdot \cos A) \cdot (AD \cdot \cos A) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \cdot \cos^2 A = S_{ABC} \cdot \cos^2 A \]

b) Chứng minh \( S_{BCDE} = S_{ABC} \cdot \sin^2 A \):

Diện tích tứ giác \( BCDE \) bằng diện tích tam giác \( ABC \) trừ đi diện tích tam giác \( ADE \):
\[ S_{BCDE} = S_{ABC} - S_{ADE} \]

Từ phần a, ta có:
\[ S_{ADE} = S_{ABC} \cdot \cos^2 A \]

Do đó:
\[ S_{BCDE} = S_{ABC} - S_{ABC} \cdot \cos^2 A = S_{ABC} (1 - \cos^2 A) = S_{ABC} \cdot \sin^2 A \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ S_{ADE} = S_{ABC} \cdot \cos^2 A \]
\[ S_{BCDE} = S_{ABC} \cdot \sin^2 A \]