Để chứng minh đẳng thức \(\frac{\cos x}{(1 + \sin x)(\cot x - \cos x)} = \frac{\tan x}{\cos x}\), chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách biến đổi vế trái của đẳng thức.

Trước hết, ta có các công thức lượng giác cơ bản:
- \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)
- \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

Bây giờ, ta thay \(\cot x\) vào biểu thức ban đầu:

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x}{\sin x} - \cos x\right)}
\]

Tiếp theo, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức trong ngoặc:

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x - \cos x \sin x}{\sin x}\right)}
\]

\[
= \frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x (1 - \sin x)}{\sin x}\right)}
\]

Bây giờ, ta nhân cả tử và mẫu của phân số trong ngoặc với \(\sin x\):

\[
= \frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x (1 - \sin x)}{\sin x}\right)}
= \frac{\cos x \cdot \sin x}{(1 + \sin x) \cdot \cos x (1 - \sin x)}
\]

Ta thấy rằng \(\cos x\) ở tử và mẫu có thể được triệt tiêu:

\[
= \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)}
\]

Tiếp theo, ta sử dụng hằng đẳng thức:

\[
(1 + \sin x)(1 - \sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x
\]

Do đó, biểu thức trở thành:

\[
= \frac{\sin x}{\cos^2 x}
\]

Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

\[
= \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{\tan x}{\cos x}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)(\cot x - \cos x)} = \frac{\tan x}{\cos x}
\]

Điều này hoàn tất chứng minh.