Để tìm giá trị của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m} \) có cực đại là 7, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm đạo hàm của hàm số:**

\[
y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số:

\[
y' = \frac{(x^2 + mx + 1)'(x + m) - (x^2 + mx + 1)(x + m)'}{(x + m)^2}
\]

\[
y' = \frac{(2x + m)(x + m) - (x^2 + mx + 1)}{(x + m)^2}
\]

\[
y' = \frac{2x^2 + 2xm + mx + m^2 - x^2 - mx - 1}{(x + m)^2}
\]

\[
y' = \frac{x^2 + m^2 - 1}{(x + m)^2}
\]

2. **Tìm điểm cực đại:**

Để hàm số có cực đại, ta cần \( y' = 0 \):

\[
\frac{x^2 + m^2 - 1}{(x + m)^2} = 0
\]

\[
x^2 + m^2 - 1 = 0
\]

\[
x^2 = 1 - m^2
\]

\[
x = \pm \sqrt{1 - m^2}
\]

3. **Tính giá trị hàm số tại điểm cực đại:**

Giả sử điểm cực đại là \( x = \sqrt{1 - m^2} \):

\[
y = \frac{(\sqrt{1 - m^2})^2 + m(\sqrt{1 - m^2}) + 1}{\sqrt{1 - m^2} + m}
\]

\[
y = \frac{1 - m^2 + m\sqrt{1 - m^2} + 1}{\sqrt{1 - m^2} + m}
\]

\[
y = \frac{2 - m^2 + m\sqrt{1 - m^2}}{\sqrt{1 - m^2} + m}
\]

Theo đề bài, giá trị cực đại là 7:

\[
\frac{2 - m^2 + m\sqrt{1 - m^2}}{\sqrt{1 - m^2} + m} = 7
\]

4. **Giải phương trình:**

\[
2 - m^2 + m\sqrt{1 - m^2} = 7(\sqrt{1 - m^2} + m)
\]

\[
2 - m^2 + m\sqrt{1 - m^2} = 7\sqrt{1 - m^2} + 7m
\]

\[
2 - m^2 = 7\sqrt{1 - m^2} + 6m
\]

Để giải phương trình này, ta có thể thử các giá trị của \( m \) hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình phi tuyến. Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng \( m = 1 \) là một giá trị khả dĩ:

\[
2 - 1^2 = 7\sqrt{1 - 1^2} + 6 \cdot 1
\]

\[
1 = 7 \cdot 0 + 6
\]

Điều này không đúng, do đó ta cần thử giá trị khác hoặc giải phương trình một cách chính xác hơn. Tuy nhiên, với các bước trên, ta có thể tìm ra giá trị \( m \) chính xác bằng cách giải phương trình phi tuyến.