Để tìm số nguyên \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức đã cho, ta cần giải từng phần của bất đẳng thức.

Bất đẳng thức đã cho là:
\[ \left( -1 - \frac{1}{2} : \frac{3}{-4} \right) \cdot \left( -4 - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{4} < \frac{x}{8} < -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} : \frac{1}{8} + 1 \]

Bước 1: Giải phần bên trái của bất đẳng thức:
\[ -1 - \frac{1}{2} = -1 - 0.5 = -1.5 \]
\[ \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \]
\[ -1.5 : -\frac{3}{4} = -1.5 \cdot -\frac{4}{3} = 1.5 \cdot \frac{4}{3} = 2 \]

Tiếp tục:
\[ -4 - \frac{1}{2} = -4 - 0.5 = -4.5 \]
\[ 2 \cdot -4.5 = -9 \]
\[ -9 - \frac{1}{4} = -9.25 \]

Bước 2: Giải phần bên phải của bất đẳng thức:
\[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{8} \]
\[ -\frac{3}{8} : \frac{1}{8} = -\frac{3}{8} \cdot 8 = -3 \]
\[ -3 + 1 = -2 \]

Bất đẳng thức trở thành:
\[ -9.25 < \frac{x}{8} < -2 \]

Nhân cả hai vế với 8:
\[ -9.25 \cdot 8 < x < -2 \cdot 8 \]
\[ -74 < x < -16 \]

Vậy số nguyên \( x \) thỏa mãn là:
\[ -73, -72, -71, \ldots, -17 \]