Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến diện tích hình thang và các thông tin đã cho.

Gọi \( a \) là độ dài đáy bé, \( b \) là độ dài đáy lớn và \( h \) là chiều cao của hình thang.

Theo đề bài, trung bình cộng của hai đáy là 34m:
\[ \frac{a + b}{2} = 34 \]
\[ a + b = 68 \]

Khi tăng đáy bé thêm 12m, diện tích miếng đất tăng thêm 114m²:
\[ \frac{(a + 12) + b}{2} \times h - \frac{a + b}{2} \times h = 114 \]
\[ \frac{a + b + 12}{2} \times h - \frac{a + b}{2} \times h = 114 \]
\[ \left( \frac{a + b + 12}{2} - \frac{a + b}{2} \right) \times h = 114 \]
\[ \frac{12}{2} \times h = 114 \]
\[ 6h = 114 \]
\[ h = 19 \]

Vậy chiều cao của hình thang là 19m.

Diện tích ban đầu của miếng đất hình thang là:
\[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]
\[ S = \frac{68}{2} \times 19 \]
\[ S = 34 \times 19 \]
\[ S = 646 \]

Vậy diện tích miếng đất hình thang ban đầu là 646m².