Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết.

**Phần a: Chứng minh tam giác \( \triangle ABO \) bằng tam giác \( \triangle ACD \) và \( BO = CD \)**

1. **Tam giác \( \triangle ABC \) cân tại A:**
- Do tam giác \( \triangle ABC \) cân tại A, ta có \( AB = AC \).

2. **Phân giác AD:**
- AD là phân giác của góc \( \angle BAC \), do đó \( \angle BAD = \angle CAD \).

3. **Đường trung tuyến BM:**
- BM là đường trung tuyến, do đó \( M \) là trung điểm của \( AC \).

4. **Điểm D là giao điểm của AD và BM:**
- D là giao điểm của phân giác AD và đường trung tuyến BM.

5. **Tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho M là trung điểm của OE:**
- Điều này có nghĩa là \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OE \).

6. **Chứng minh \( \triangle ABO \) bằng \( \triangle ACD \):**
- Xét hai tam giác \( \triangle ABO \) và \( \triangle ACD \):
- \( AB = AC \) (do tam giác \( \triangle ABC \) cân tại A).
- \( \angle BAD = \angle CAD \) (do AD là phân giác).
- \( AD \) là chung.

- Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle ABO \cong \triangle ACD
\]

7. **Chứng minh \( BO = CD \):**
- Từ việc hai tam giác \( \triangle ABO \) và \( \triangle ACD \) bằng nhau, ta có các cạnh tương ứng bằng nhau:
\[
BO = CD
\]

**Phần b: Chứng minh \( CE \parallel AD \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle ACD \):**
- \( AD \) là phân giác của góc \( \angle BAC \).

2. **Điểm E và trung điểm M:**
- \( M \) là trung điểm của \( OE \).

3. **Chứng minh \( CE \parallel AD \):**
- Do \( M \) là trung điểm của \( OE \), \( M \) cũng là trung điểm của \( AC \) (vì BM là đường trung tuyến).
- Xét tam giác \( \triangle ACD \) và đường trung tuyến BM, ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AC \).
- \( D \) là giao điểm của AD và BM.

- Do \( M \) là trung điểm của \( OE \), \( E \) phải nằm trên đường thẳng song song với AD và đi qua điểm C (do tính chất của trung điểm và đường trung tuyến).

- Do đó, ta có:
\[
CE \parallel AD
\]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:
a) \( \triangle ABO \cong \triangle ACD \) và \( BO = CD \).
b) \( CE \parallel AD \).