Để giải phương trình lượng giác \( \sin^2(2x) - \sin^2(x) = \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \), trước tiên ta tính giá trị của \( \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \):

\[
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
\sin^2(2x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2}
\]

Áp dụng công thức hiệu hai bình phương, ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
(\sin(2x) - \sin(x))(\sin(2x) + \sin(x)) = \frac{1}{2}
\]

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sử dụng công thức nhân đôi cho sin:

\[
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)
\]

Vậy ta thay vào phương trình:

\[
\sin^2(2x) = (2 \sin(x) \cos(x))^2 = 4 \sin^2(x) \cos^2(x)
\]

Do đó, ta có phương trình mới:

\[
4 \sin^2(x) \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2}
\]

Rút gọn phương trình này:

\[
\sin^2(x)(4 \cos^2(x) - 1) = \frac{1}{2}
\]

Đặt \( \sin^2(x) = t \):

\[
t(4(1 - t) - 1) = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình trên:

\[
t(4 - 4t - 1) = \frac{1}{2}
\]

\[
t(3 - 4t) = \frac{1}{2}
\]

\[
3t - 4t^2 = \frac{1}{2}
\]

Nhân cả hai vế với 2 để rõ hơn:

\[
6t - 8t^2 = 1
\]

Sắp xếp lại thành phương trình bậc 2:

\[
8t^2 - 6t + 1 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm trong đại số cho phương trình bậc 2:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 8 \times 1}}{2 \times 8} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{16} = \frac{6 \pm 2}{16}
\]

Tính các nghiệm:

1. \( t_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)
2. \( t_2 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)

Ta có:

\[
\sin^2(x) = t_1 \Rightarrow \sin^2(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad (\text{hoặc } -\frac{\sqrt{2}}{2})
\]

Giải cho \( x \):

\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Và:

\[
\sin^2(x) = t_2 \Rightarrow \sin^2(x) = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \quad (\text{hoặc } -\frac{1}{2})
\]

Giải cho \( x \):

\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Tóm tắt, nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z}
\]