Để chứng minh rằng \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = 60^\circ \), ta sẽ đi qua các bước sau:

1. **Xác định các góc:**
- Gọi \( \widehat{zOx} = \alpha \) (vì \( \widehat{zOx} \) là góc nhọn nên \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \)).
- Theo đề bài, \( \widehat{xOm} = \frac{3}{4} \alpha \).
- Vì \( \widehat{On} \) vuông góc với \( \widehat{Om} \), nên \( \widehat{mOn} = 90^\circ \).

2. **Tính góc \( \widehat{zOn} \):**
- \( \widehat{zOn} = \widehat{zOm} + \widehat{mOn} \).
- \( \widehat{zOm} = \alpha - \widehat{xOm} = \alpha - \frac{3}{4} \alpha = \frac{1}{4} \alpha \).
- Do đó, \( \widehat{zOn} = \frac{1}{4} \alpha + 90^\circ \).

3. **Tính góc \( \widehat{yOn} \):**
- Vì \( \widehat{yOx} = 180^\circ \) (do \( Ox \) và \( Oy \) là hai tia đối nhau).
- \( \widehat{yOm} = 180^\circ - \widehat{xOm} = 180^\circ - \frac{3}{4} \alpha \).
- \( \widehat{yOn} = \widehat{yOm} - \widehat{mOn} = 180^\circ - \frac{3}{4} \alpha - 90^\circ = 90^\circ - \frac{3}{4} \alpha \).

4. **Chứng minh \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = 60^\circ \):**
- \( \widehat{zOn} = \frac{1}{4} \alpha + 90^\circ \).
- \( \frac{1}{3} \widehat{yOn} = \frac{1}{3} (90^\circ - \frac{3}{4} \alpha) = 30^\circ - \frac{1}{4} \alpha \).
- Do đó, \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = (\frac{1}{4} \alpha + 90^\circ) - (30^\circ - \frac{1}{4} \alpha) \).
- \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = \frac{1}{4} \alpha + 90^\circ - 30^\circ + \frac{1}{4} \alpha \).
- \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = \frac{1}{4} \alpha + \frac{1}{4} \alpha + 60^\circ \).
- \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = \frac{1}{2} \alpha + 60^\circ \).

Vì \( \alpha \) là một góc nhọn, nên \( \frac{1}{2} \alpha \) sẽ là một góc nhỏ hơn \( 45^\circ \). Tuy nhiên, để chứng minh rằng \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = 60^\circ \), ta cần kiểm tra lại các bước tính toán và góc \( \alpha \).

Nếu ta giả định \( \alpha = 60^\circ \), thì:
- \( \widehat{zOx} = 60^\circ \).
- \( \widehat{xOm} = \frac{3}{4} \times 60^\circ = 45^\circ \).
- \( \widehat{zOm} = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ \).
- \( \widehat{zOn} = 15^\circ + 90^\circ = 105^\circ \).
- \( \widehat{yOm} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
- \( \widehat{yOn} = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \).
- \( \frac{1}{3} \widehat{yOn} = \frac{1}{3} \times 45^\circ = 15^\circ \).
- \( \widehat{zOn} - \frac{1}{3} \widehat{yOn} = 105^\circ - 15^\circ = 90^\circ \).

Do đó, \( \alpha \) không thể là \( 60^\circ \). Ta cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc có thể có một lỗi trong đề bài.